全脳科学帳

これを好む者はこれを楽しむ者に如かず

数学

引き算の減加法と減減法

id:Yama-Mikasaさんのブログ「読書生活」にこんなエントリがあった。 www.yama-mikasa.com 12 - 5のような繰り下がりのある計算を頭の中でどのように計算しているか? という問題。これくらいなら誰でも答を覚えていると思うが、覚えていないとしたらどう計算…

ABC予想の同値な表現

先月のことになるが、ABC予想が解決されたらしい、ということが報じられた。 www.asahi.com 大ニュース。どうやらこれはもう、証明されたと思ってよさそうである。 ところで、ABC予想が主張している内容にはいくつかの表現方法がある。 まず共通の事柄として…

連続性と微分可能性 (1)

実関数 が で連続であるとは、極限 が存在して に等しくなることをいう。もっとちゃんと言うと、任意の に対して が存在して、 ならば となることである。 関数 が で微分可能であるとは、微分係数 が(有限の値として)存在することをいう。 で微分可能である…

負の数と負の数を掛けるとなぜ正の数になるのか

あるセミナー(数学とは関係ない)で講師の人が何かの例を説明する時に「マイナスとマイナスを掛けるとプラスになりますからね」と言ったら、参加者の一人から「なつかしい!」という声が上がったことがあった。「そうか、なつかしいのか…」と妙に感心してしま…

eが超越数であることの証明

(ネイピア数、自然対数の底)が超越数であることは、1873年にシャルル・エルミートによって証明された。つまり は有理数係数(整数係数としても同じ)の代数方程式の解とならない数である。その証明は相当ややこしい。 私はこの動画を観て自分のノートにまとめ…

フィボナッチ数列の一般項を求める

フィボナッチ数列は、 という漸化式で与えられる数列。具体的な値は、 である。この数列の一般項を知った時は驚いた。 「数学ガール」(シリーズ第1作)では母関数を用いて一般項を導出していたが、等比数列に帰着する方法でガリガリと求めることもできる。 が…

素数の逆数和 その2

素数の逆数和が発散することをレオンハルト・オイラーが最初に示した時の証明を調べてみた。エルデシュの証明と同じく、これで素数が無限に存在することも言える。「素数が無限に存在することの証明(4)」で書いたオイラーの証明と同じアプローチを使っている…

素数が無限に存在することの証明 (6) 〜 素数の逆数和 その1 〜

6つ目の証明は、ポール・エルデシュによるもの。生涯に約1500本もの論文を発表したことや、それらの多くが共著だったことで知られる人。この証明では、素数の逆数の和が無限大に発散することを示す。素数が有限個しか存在しないなら逆数の和は有限の値になる…

素数が無限に存在することの証明 (5)

5つ目の証明はゴールドバッハによるもの。フェルマー数を使う。フェルマー数とは で表される数のことで、 に対して である。 証明 まず、以下の補題を証明する。 補題 任意の に対して である。 補題の証明 数学的帰納法で証明する。まず のとき、 、 である…

素数が無限に存在することの証明 (4)

次に紹介するのは、かのレオンハルト・オイラーによる証明。 これはかなり毛色が異なる。 証明 素数が有限の 個しか存在しないと仮定し、それらを とする。 各素数 に対し、等比数列の和の公式より である。右辺を のすべてについて掛け合わせた値 を考える…

素数が無限に存在することの証明 (3)

3つ目の証明として、スティルチェスによるものを。 スティルチェスは19世紀のオランダの数学者で、解析学で業績を残した人。 この動画で3つ目の証明として紹介されている。 素数が無限個あることの意外に知られていない3つの証明 証明は短い。背理法を使う(※…

素数が無限に存在することの証明 (2)

2つ目に紹介する証明は、2006年にフィリップ・サイダックが発表したもの。とても簡潔で、私はこの証明が最も好きである。 証明 を1より大きい整数とする。 と は互いに素なので、 は少なくとも2つの異なる素因数を持つ。同様に、 と は互いに素なので、 は少…

素数が無限に存在することの証明 (1)

素数とは、1より大きい自然数で、1と自分自身以外に約数を持たないもののこと。具体的には、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, が素数である。 素数が無限に多く存在することはよく知られていて、たくさんの証明がなされている。それらのいくつかについて書い…

πが無理数であることの証明

ネイピア数(自然対数の底) に続いて、今度は円周率 が無理数であることの証明。Wikipediaによると、初めて厳密に証明したのはルジャンドルで、1794年のことだった。初等的な微分積分のみを用いた証明はイヴァン・ニーベンが1947年に与えている。 よりずっと…

eとその有理数乗(0乗を除く)が無理数であることの証明

ネイピア数(自然対数の底) と円周率 はともに、無理数でありさらに超越数であることが知られている。 無理数: 有理数(分母・分子がともに整数である分数で表せる数)でない実数 超越数: 有理数係数の代数方程式 の解とならない複素数(「有理数係数」は「整数…

廊下を曲がれる棒の長さに関する問題

高校の時に目にした数学の問題で、ずっと印象に残っているものがあった。多分「大学への数学」かその別冊に載っていたのだと思う。自分で解いたことはなかったし、答も全く覚えていなかったのだが、最近ふと思い立って、ちょっとカンニングしながらも解を導…

渡り廊下問題(2) 極限値

同じ階数の2つのビルの間を行き来する手段として、1階に加えて渡り廊下を1つ設ける場合にどの階が最も効率がよいかという問題の続き。ビルの階数に対する渡り廊下の最適位置の割合の極限値が気になるので、前回Perlスクリプトに計算させた「全ての移動の組み…

渡り廊下問題(1) 最適位置

私がよく出張で行くところには7階建てのビルが2つあり、それらの間で行き来が多く発生する。そのため渡り廊下が1つ、5階に設けられている。 その渡り廊下を渡りながら、ふと「これが5階にあるのは最適なのか?」という疑問が頭をもたげた。 渡り廊下を設ける…