全脳科学帳

これを好む者はこれを楽しむ者に如かず

素数の逆数和 その2

素数の逆数和が発散することをレオンハルト・オイラーが最初に示した時の証明を調べてみた。エルデシュの証明と同じく、これで素数が無限に存在することも言える。「素数が無限に存在することの証明(4)」で書いたオイラーの証明と同じアプローチを使っている。

証明
素数  2, 3, 5, \ldots p_1, p_2, p_3, \ldots と番号づける。各素数  p_i に対し、等比数列の和の公式より

 \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_i^k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{p_i}}\quad(*1)

である。右辺をすべての素数について掛け合わせた値

 \displaystyle M = \prod_{p_i} {\frac{1}{1 - \frac{1}{p_i}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} \cdots \quad(*2)

を考える。これを(*1)の左辺の等比数列の和の方を使って表すと

 \displaystyle M = \prod_{i} {\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_i^k}}

 \displaystyle = \Bigl(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots\Bigr)\Bigl(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots\Bigr)\Bigl(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \cdots\Bigr) \ldots

これを展開すると、各項は  \displaystyle \frac{1}{p_1}, \frac{1}{p_2}, \ldots の0乗以上を掛け合わせたものとなり、そのすべての組み合わせが現れる。すなわち

 \displaystyle M = \sum_{k_i} \frac{1}{\prod_{i} p_i^{k_i}}

ただしこれは、0以上の整数値をとる数列  k_i \, (i \ge 0) のすべての組み合わせにわたって和をとることを意味する。

任意の自然数は素数の積として表せる(証明は「素数が無限に存在することの証明(4)」参照。ここで1は素数の0乗の積と見なす)ことから、任意の自然数は  \displaystyle \prod_{i} p_i^{k_i} (各  k_i は0以上の整数)と表せる。したがって、任意の自然数  m について、上記の  M の総和表現の中に  \displaystyle \frac{1}{m} が現れる。よって

 \displaystyle M \ge \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots\quad(*3)

次に、

 \displaystyle 0 \lt x \le \frac{1}{2} のとき  \displaystyle \frac{1}{1 - x} \lt 10^x\quad(*4)

である(証明は後述)。したがって(*2)の各項において、 \displaystyle 0 \lt \frac{1}{p_i} \le \frac{1}{2} より

 \displaystyle \frac{1}{1 -\frac{1}{p_i}} \lt 10^{\frac{1}{p_i}}

これをすべての  p_i について掛け合わせると、(*2)より

 \displaystyle M = \prod_{p_i} {\frac{1}{1 - \frac{1}{p_i}}} \lt 10^{\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\cdots}

(*3)より  M は調和級数以上の値を持つので、無限大に発散する(調和級数の発散の証明は「素数が無限に存在することの証明(4)」参照)。したがって  \displaystyle 10^{\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\cdots} も無限大に発散する。これは、その指数である素数の逆数和が無限大に発散することを意味する。(証明終)

導入部分は素数が無限に存在することの証明と同じなのだが、(*4)に着目して一気に逆数和の発散を示してしまう。

(*4)の証明

 e^x のマクローリン展開

 \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots

より、 x \gt 0 において

 \displaystyle e^x \gt 1 + x

である。 x \gt 0 なら  2x \gt 0 であるから、 x 2x を代入して、 x \gt0 のとき

 \displaystyle e^{2x} \gt 1 + 2x

 \displaystyle 0 \lt x \le \frac{1}{2} のとき、 1 - x \gt 0 であるから、上記の両辺に  1 -x を掛けて

 \displaystyle e^{2x} (1 - x) \gt (1 + 2x)(1 - x) = 1 + x(1 - 2x) \ge 1

両辺を  1 - x で割ると

 \displaystyle e^{2x} \gt \frac{1}{1 - x} つまり  \displaystyle {(e^2)}^x \gt \frac{1}{1 - x}

 10 \gt e^2 (= 7.389\ldots) なので

 \displaystyle 10^{x} \gt \frac{1}{1 - x}

となる。(証明終)

これを見ると、本題の証明の方で  10 の代わりに  e^2 を使ってもよいことがわかる。