渡り廊下問題(2) 極限値

同じ階数の2つのビルの間を行き来する手段として、1階に加えて渡り廊下を1つ設ける場合にどの階が最も効率がよいかという問題の続き。ビルの階数に対する渡り廊下の最適位置の割合の極限値が気になるので、前回Perl スクリプトに計算させた「全ての移動の組み合わせに対する移動階数の合計」の一般解を与える式を求めてみることにした。こうなってくると、当初の「いつも使っている5階の渡り廊下は最適なのか」という問題を離れて、純粋に数学的興味である。

2つのビルの階数を $n$ とし、渡り廊下を $x$ 階に設けるとき、片方のビルの $a$ 階から他方の $b$ 階に渡るときの最短経路は以下のように場合分けできる。

$a \gt x$ かつ $b \gt x$ のとき(出発階も到着階も渡り廊下より上)
必ず渡り廊下を渡り、移動階数は $(a - x) + (b - x)$
$a \gt x$ かつ $b \le x$ のとき(出発階が渡り廊下より上で、到着階は渡り廊下と同じか下)
必ず渡り廊下を渡り、移動階数は $a - b$
$a \le x$ かつ $b \gt x$ のとき(出発階が渡り廊下と同じか下で、到着階は渡り廊下より上)
必ず渡り廊下を渡り、移動階数は $b - a$
かつのとき(出発階も到着階も渡り廊下と同じか下)
1階と渡り廊下のどちらを経由するのが近いかによりさらに場合分け
1. $(a - 1) + (b - 1) \le (x - a) + (x - b)$ つまり $a + b \le x + 1$ のとき1階経由になり、移動階数は $(a - 1) + (b - 1)$
2. $a + b \gt x + 1$ のとき渡り廊下経由になり、移動階数は $(x - a) + (x - b)$

2.と3.の総和が同じになることを利用し、1, 2&3, 4-1, 4-2に分けてそれぞれ総和を求める。久しぶりにまとまった数式計算をしたのでめげそうになった。途中で「自然数の二乗の総和( $\sum_{i=1}^k{i^2}$ )」を求める必要があるのだが、そんな公式( $\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$ )はすっかり忘れていた。ともかく全ての総和を足して整理すると、(1〜n階)→(1〜n階)の $n^2$ 通りの移動に対する移動階数の総和は