素数の逆数和その2 - 全脳科学帳

素数の逆数和が発散することをレオンハルト・オイラーが最初に示した時の証明を調べてみた。エルデシュの証明と同じく、これで素数が無限に存在することも言える。「素数が無限に存在することの証明(4)」で書いたオイラーの証明と同じアプローチを使っている。

証明
素数 $2, 3, 5, \ldots$ を $p_1, p_2, p_3, \ldots$ と番号づける。各素数 $p_i$ に対し、等比数列の和の公式より

$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_i^k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{p_i}}\quad(*1)$

である。右辺をすべての素数について掛け合わせた値

$\displaystyle M = \prod_{p_i} {\frac{1}{1 - \frac{1}{p_i}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} \cdots \quad(*2)$

を考える。これを(*1)の左辺の等比数列の和の方を使って表すと

$\displaystyle M = \prod_{i} {\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_i^k}}$

$\displaystyle = \Bigl(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots\Bigr)\Bigl(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots\Bigr)\Bigl(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \cdots\Bigr) \ldots$

これを展開すると、各項は $\displaystyle \frac{1}{p_1}, \frac{1}{p_2}, \ldots$ の0乗以上を掛け合わせたものとなり、そのすべての組み合わせが現れる。すなわち

$\displaystyle M = \sum_{k_i} \frac{1}{\prod_{i} p_i^{k_i}}$

ただしこれは、0以上の整数値をとる数列 $k_i \, (i \ge 0)$ のすべての組み合わせにわたって和をとることを意味する。

任意の自然数は素数の積として表せる(証明は「素数が無限に存在することの証明(4)」参照。ここで1は素数の0乗の積と見なす)ことから、任意の自然数は $\displaystyle \prod_{i} p_i^{k_i}$ (各 $k_i$ は0以上の整数)と表せる。したがって、任意の自然数 $m$ について、上記の $M$ の総和表現の中に $\displaystyle \frac{1}{m}$ が現れる。よって

$\displaystyle M \ge \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots\quad(*3)$

次に、

$\displaystyle 0 \lt x \le \frac{1}{2}$ のとき $\displaystyle \frac{1}{1 - x} \lt 10^x\quad(*4)$

である(証明は後述)。したがって(*2)の各項において、 $\displaystyle 0 \lt \frac{1}{p_i} \le \frac{1}{2}$ より

$\displaystyle \frac{1}{1 -\frac{1}{p_i}} \lt 10^{\frac{1}{p_i}}$

これをすべての $p_i$ について掛け合わせると、(*2)より

$\displaystyle M = \prod_{p_i} {\frac{1}{1 - \frac{1}{p_i}}} \lt 10^{\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\cdots}$

(*3)より $M$ は調和級数以上の値を持つので、無限大に発散する(調和級数の発散の証明は「素数が無限に存在することの証明(4)」参照)。したがって $\displaystyle 10^{\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\cdots}$ も無限大に発散する。これは、その指数である素数の逆数和が無限大に発散することを意味する。(証明終)