ABC予想の同値な表現

先月のことになるが、ABC予想が解決されたらしい、ということが報じられた。

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大ニュース。どうやらこれはもう、証明されたと思ってよさそうである。

ところで、ABC予想が主張している内容にはいくつかの表現方法がある。

まず共通の事柄として、

自然数 $n$ に対して、 $n$ の互いに異なる素因数の積(素因数分解して指数をすべて $1$ にしたもの)を $n$ の根基(radical)と呼び、 $\mathrm{rad}(n)$ と書く。
例: $\mathrm{rad}(6) = \mathrm{rad}(2 \cdot 3) = 2 \cdot 3 = 6$
$\mathrm{rad}(45) = \mathrm{rad}(3^2 \cdot 5) = 3 \cdot 5 = 15$
自然数の組 $(a, b, c)$ で、 $a \lt b$ 、 $a$ と $b$ は互いに素、 $a + b = c$ であるもの(ABCトリプルという)を考える。

このとき、ABC予想は以下のように表現される。

ABC予想(表現1)
任意の $\varepsilon \gt 0$ に対し、次を満たす $(a, b, c)$ の組はたかだか有限個しか存在しない。
$c \gt \mathrm{rad}(abc)^{1 + \varepsilon}$

ABC予想(表現2)
任意の $\varepsilon \gt 0$ に対し、ある $K(\varepsilon) \gt 0$ が存在し、すべての $(a, b, c)$ の組に対して次が成り立つ。
$c \lt K(\varepsilon) \cdot \mathrm{rad}(abc)^{1 + \varepsilon}$

ABC予想(表現3)
$(a, b, c)$ に対し $\displaystyle q = \frac{\log c}{\log(\mathrm{rad}(abc))}$ とする。
( $q$ を $(a, b, c)$ の「クオリティ(質)」という)
任意の $\varepsilon \gt 0$ に対し、 $q \gt 1 + \varepsilon$ となる $(a, b, c)$ の組はたかだか有限個しか存在しない。