素数が無限に存在することの証明 (5)

5つ目の証明はゴールドバッハによるもの。フェルマー数を使う。フェルマー数とは $F_n = 2^{2^n} + 1$ で表される数のことで、 $n = 0,1,2,\ldots$ に対して $F_n = 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, \ldots$ である。

証明
まず、以下の補題を証明する。

補題
任意の $n = 1,2,\ldots$ に対して $F_0 F_1 \ldots F_{n-1} = F_n - 2$ である。

補題の証明
数学的帰納法で証明する。まず $n = 1$ のとき、 $F_0 = 3$ 、 $F_1 - 2 = 5 - 2 = 3$ であるから成り立つ。 $n = k$ $(k \ge 1)$ で成り立つとき、 $F_0 F_1 \ldots F_{k-1} = F_k - 2$ であり、

$F_0 F_1 \ldots F_k = (F_0 F_1 \ldots F_{k-1}) F_k = (F_k - 2)F_k = (2^{2^k} - 1)(2^{2^k} + 1)$ $= 2^{2^{k+1}} - 1 = F_{k+1} - 2$

となるので、 $n = k+1$ でも成り立つ。したがって補題が証明された。

さて、任意の異なるフェルマー数 $F_m, F_n$ $(m \lt n)$ に対して、補題から $F_n = F_0 F_1 \ldots F_m \ldots F_{n-1} + 2 = M \cdot F_m + 2$ ( $M$ は自然数) と書ける。 $F_m$ の任意の素因数 $p$ をとると、フェルマー数の定義から $F_m$ は奇数なので $p \gt 2$ である。すると上式から、 $F_n$ を $p$ で割った余りは2であり、 $F_n$ は $p$ で割り切れない。このことから $F_m$ と $F_n$ は共通の素因数を持たない。つまりフェルマー数はすべて互いに素である。すると、任意の自然数 $n$ に対して $F_0 F_1 \ldots F_n$ は少なくとも $(n+1)$ 個の素因数を持つ。すなわちどんな $n$ に対してもそれより大きな個数の素数が存在する。したがって素数が無限に存在することが示された。(証明終)