eが超越数であることの証明

$e$ (ネイピア数、自然対数の底)が超越数であることは、1873年にシャルル・エルミートによって証明された。つまり $e$ は有理数係数(整数係数としても同じ)の代数方程式の解とならない数である。その証明は相当ややこしい。

私はこの動画を観て自分のノートにまとめた。

eが超越数であることの証明

ここでは概要だけ書いておく。

$e$ を代数的数であると仮定する。するとある整数の組 $a_0, a_1, \cdots , a_n (a_0 a_n \neq 0)$ に対して

$\displaystyle a_0 + a_1 e + a_2 e^2 + \cdots + a_n e^n = 0 \quad(*1)$

が成り立つことになる。

さて、 $f(x)$ 、 $I(t)$ 、 $J$ を以下のように定義する。

$\displaystyle f(x) = x^{p-1}(x-1)^p (x-2)^p \cdots (x-n)^p$ ( $p$ は素数)

$\displaystyle I(t) = \int_0^t e^{t-x}f(x)dx$

$\displaystyle J = -(a_0 I(0) + a_1 I(1) + \cdots + a_n I(n))$

すると、 $p$ が十分大きな素数(素数が無限に存在することは証明されているので、いくらでも大きくとれる)であるとき

$\displaystyle | J | \ge (p-1)! \quad(*2)$

$\displaystyle | J | \le c^p$ ( $c$ は $p$ によらない自然数) $\quad(*3)$

がともに成り立つことが示せる。

ところがどんな $c$ に対しても、十分大きな $p$ をとれば $(p-1)! \gt c^p$ となるから、これは矛盾。したがって、 $e$ が代数的数であるという仮定が誤りであり、 $e$ は超越数であるということが示される。

$e$ を代数的数と仮定して何か矛盾が生じればいいという戦略だが、証明は長い道のりだった。特に (*2) を示すには、補題を使ったり場合分けが生じたりしてかなり複雑である。いつもながら、こういうことを思いついた人はえらいと思う。

ここでいう補題というのは以下のもの。

補題
$f(x)$ を次数 $m$ の多項式、 $I(t)$ を上記で定義した $t$ の関数とし、

$\displaystyle F(x) = f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots + f^{(m)}(x)$

とすると

$\displaystyle I(t) = e^t F(0) - F(t)$

である。

これによって $J$ の式を簡単にした上で場合分けしながら計算し、「 $(p-1)!$ で割り切れるが $p!$ では割り切れない」ことを突き止める。したがって $J$ は $0$ でない $(p-1)!$ の倍数なので、 $| J | \ge (p-1)!$ となるのである。といっても、 $e$ は代数的数であるというウソの仮定をすればの話。 $J$ の式を簡単にする過程で(*1)を使っている。

背理法を使わないで証明しようとするとどうなるか。ウソの仮定を使っているのは (*2) の方で、(*3)は本当に成り立つので、「十分大きな $p$ に対して $(p-1)! \gt c^p$ であるから、(*2)はすべての $p$ に対して成り立つわけではない」ことから(*1)が成り立たないことを導くことになると思う。

全脳科学帳

これを好む者はこれを楽しむ者に如かず

eが超越数であることの証明